Понятие корреляция означает схожесть. Корреляционная функция сигнала является функцией и определяется выражением
где τ – временной сдвиг сигнала.
При выражение (2.65) принимает вид
где Е - энергия сигнала. Таким образом, при нулевом временном сдвиге корреляционная функция равна энергии сигнала.
Кроме корреляционной функции (2.65) существует взаимно корреляционная функция, которая характеризует взаимную связь между значениями двух сигналов и определяется выражением:
Когда U1(t) и U2(t) являются одним и тем же сигналом U(t), то взаимно корреляционная и корреляционная функция совпадают.
Корреляционная функция принимает максимальное значение только при . Взаимно корреляционная функция двух одинаковых сигналов также достигает максимума при . Для различных сигналов U1(t) и U2(t) максимальное значение функции может достигать не при . Например, взаимно корреляционная функция косинусоиды имеет максимальное значение при .
Рассмотрим корреляционные функции типовых сигналов.
Прямоугольный видеосигнал и его корреляционная функция показаны на рис. 2.24.
Корреляционная функция периодического видеосигнала с периодом Т на основании (2.66) имеет вид:
(2.67)
Корреляционная функция гармонического сигнала равна:
Сигнал и его корреляционная функция показаны на рис 2.25.
Рис. 2.25. Гармонический сигнал (а) и его корреляционная функция (б).
Взаимно корреляционная функция двух гармонических сигналов одинаковой частоты и имеет вид:
(2.69)
Если и , то взаимно корреляционная функция (2.68) равна корреляционной функции гармонического сигнала (2.69).
Взаимно корреляционная функция двух гармонических сигналов с различными частотами равна нулю. Следовательно, гармонические сигналы с различными частотами являются некоррелированными (не схожими) между собой.
В теории связи корреляционная теория используется при исследовании случайных процессов, позволяя установить связь между корреляционными и спектральными свойствами случайных сигналов. Часто возникает задача обнаружения одного передаваемого сигнала в другом или в помехах. Для надежного обнаружения сигналов и применяется метод корреляции , основанный на корреляционной теории. На практике оказывается полезным анализ характеристики, дающей представление о скорости изменения во времени, а также длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.
Пусть копия сигнала u(t - т) смещена относительно своего оригинала u(t) на интервал времени т. Для количественной оценки степени отличия (связи) сигнала u(t) и его смещенной копии u(t - т) используют автокорреляционную функцию (АКФ). АКФ показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией - чем больше значение АКФ, тем это сходство сильнее.
Для детерминированного сигнала конечной длительности (финитного сигнала) аналитическая запись АКФ представляет собой интеграл вида
Формула (2.56) показывает, что при отсутствии сдвига копии относительно сигнала (т = 0) АКФ положительна, максимальна и равна энергии сигнала:
Такая энергия [Дж] выделяется на резисторе с сопротивлением в 1 Ом, если к его выводам подключить некоторое напряжение u(t) [В].
Одним из важнейших свойств АКФ является ее четность: В(т) = В(-
т). Действительно, если в выражении (2.56) произвести замену переменной х = t -
т, то
Поэтому интеграл (2.56) можно представить в другом виде:
Для периодического сигнала с периодом Г, энергия которого бесконечно велика (поскольку сигнал существует бесконечное время), вычисление АКФ по формуле (2.56) неприемлемо. В этом случае определяют АКФ за период:
Пример 2.3
Определим АКФ прямоугольного импульса, который имеет амплитуду Е и длительность т и (рис. 2.24).
Решение
Для импульса вычисления АКФ удобно провести графически. Такое построение показано на рис. 2.24, а - г, где приведены соответственно исходный импульс u(t) = u t сдвинутая на т его копия м т (?) = u(t - т) = м т и их произведение u(f)u(t - т) = uu v Рассмотрим графическое вычисление интеграла (2.56). Произведение u(t)u(t - т) не равно нулю на интервале времени, когда имеется наложение друг на друга любых частей сигнала и его копии. Как следует из рис. 2.24, этот интервал равен х - т м, если временной сдвиг копии меньше длительности импульса. В подобных случаях для импульса АКФ определится как В(т) = Е 2 (т и - |т|) при временном сдвиге копии на текущее время |т| В(0) = = Е 2 т и = Э (см. рис. 2.24, г).
Рис. 2.24.
а - импульс; 6 - копия; в - произведение сигнала и копии; г - АКФ
Часто вводят удобный для анализа и сравнения сигналов числовой параметр - интервал корреляции т к, аналитически и графически равный ширине основания АКФ. Для данного примера интервал корреляции т к = 2т и.
Пример 2.4
Определим АКФ гармонического (косинусоидального) сигнала u(t) = = t/ m cos(co? + а).
Рис. 2.25.
а - гармонический сигнал; б - АКФ гармонического сигнала
Решение
Используя формулу (2.57) и обозначив В п (т) = В(т), находим
Из этой формулы следует, что АКФ гармонического сигнала тоже является гармонической функцией (рис. 2.25, б) и имеет размерность мощности (В 2). Отметим еще один очень важный факт, что вычисленная АКФ не зависит от начальной фазы гармонического сигнала (параметр
Из проведенного анализа следует важный вывод: АКФ практически любого сигнала не зависит от его фазового спектра. Следовательно, сигналы, амплитудные спектры которых полностью совпадают, а фазовые различаются, будут иметь одинаковую АКФ. Еще одно замечание заключается в том, что по АКФ нельзя восстановить исходный сигнал (опять же вследствие утраты информации о фазе).
Связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала. Пусть импульсный сигнал u(t) имеет спектральную плотность 5(со). Определим АКФ но формуле (2.56), записав и(С) в виде обратного преобразования Фурье (2.30):
Введя новую переменную х = t - т, из последней формулы получим Здесь интеграл
есть функция, комплексно-сопряженная спектральной плотности сигнала
С учетом соотношения (2.59) формула (2.58) примет вид
Функцию
называют энергетическим спектром (спектральной плотностью энергии) сигнала, показывающим распределение энергии по частоте. Размерность энергетического спектра сигнала соответствует величине IP/со) - [(В 2 -с)/Гц].
Учитывая соотношение (2.60), окончательно получим выражение для АКФ:
Итак, АКФ сигнала представляет собой обратное преобразование Фурье от его энергетического спектра. Прямое преобразование Фурье от АКФ
Итак, прямое преобразование Фурье (2.62) АКФ определяет энергетический спектр, а обратное преобразование Фурье энергетического спектра (2.61) - АКФ детерминированного сигнала. Эти результаты важны по двум причинам. Во-первых, исходя из распределения энергии но спектру становится возможным оценить корреляционные свойства сигналов - чем шире энергетический спектр сигнала, тем меньше интервал корреляции. Соответственно, чем больше интервал корреляции сигнала, тем короче его энергетический спектр. Во-вторых, соотношения (2.61) и (2.62) позволяют экспериментально определить одну из функций по значению другой. Часто удобнее вначале получить АКФ, а затем с помощью прямого преобразования Фурье вычислить энергетический спектр. Этот прием широко применяют при анализе свойств сигналов в реальном масштабе времени, т.е. без временной задержки при его обработке.
Взаимокорреляционная функция двух сигналов. Если надо оценить степень связи между сигналами u x (t) и u 2 (t), то используют взаимокорреля- ционную функцию (ВКФ)
При т = О ВКФ равна так называемой взаимной энергии двух сигналов
Значение ВКФ не меняется, если вместо задержки второго сигнала u 2 (t) рассматривать опережение его первым сигналом м,(?), поэтому
АКФ является частным случаем ВКФ, если сигналы одинаковы, т.е. u y (t) = u 2 (t) = u(t). В отличие от АКФ ВКФ двух сигналов В 12 (т) не является четной и необязательно максимальна при т = 0, т.е. при отсутствии временного сдвига сигналов.
Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.
Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t:
B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.25)
Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига t. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при t = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала:
B s (0) =s(t) 2 dt = E s .
Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (2.25):
B s (t) =s(t-t) s(t) dt = s(t) s(t-t) dt = B s (-t). (2.25")
С учетом четности, графическое представление АКФ производится только для положительных значений t. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак +t в выражении (2.25) означает, что при увеличении значений t копия сигнала s(t+t) сдвигается влево по оси t и уходит за 0, что требует соответствующего продления сигнала в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания t, как правило, много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.25) функции s(t-t) вместо s(t+t).
По мере увеличения значения величины сдвига t для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается и скалярное произведение стремятся к нулю.
Пример. На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением, равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.
При сдвиге копии импульса по оси t вправо, при 0≤t≤T сигналы перекрываются на интервале от t до Т. Скалярное произведение:
B s (t) =A 2 dt = A 2 (T-t).
При сдвиге копии импульса влево, при -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:
B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).
При |t| > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сигналов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ортогональными).
Обобщая вычисления, можем записать:
В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах периода:
B s (t) = (1/Т)s(t) s(t-t) dt.
При t=0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах интервала Т. АКФ периодических сигналов также является периодической функцией с тем же периодом Т. Для однотонального гармонического сигнала это очевидно. Первое максимальное значение АКФ будет соответствовать t=0. При сдвиге копии сигнала на четверть периода относительно оригинала подынтегральные функции становятся ортогональными друг другу (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) и дают нулевое значение АКФ. При сдвиге на t=T/2 копия сигнала по направлению становится противоположной самому сигналу и скалярное произведение достигает минимального значения. При дальнейшем увеличении сдвига начинается обратный процесс увеличения значений скалярного произведения с пересечением нуля при t=3T/2 и повторением максимального значения при t=T=2p/w o (cos w o t-2p копии º cos w o t сигнала). Аналогичный процесс имеет место и для периодических сигналов произвольной формы (рис. 2.11).
Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств АКФ.
Для сигналов, заданных на определенном интервале , вычисление АКФ производится с нормировкой на длину интервала :
B s (t) =s(t) s(t+t) dt. (2.26)
Автокорреляция сигнала может оцениваться и функцией автокорреляционных коэффициентов, вычисление которых производится по формуле (по центрированным сигналам):
r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2 .
Взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) показывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной), для чего используется та же формула (2.25), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых сдвинут на время t:
B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.27)
При замене переменной t = t-t в формуле (2.4.3), получаем:
B 12 (t) =s 1 (t-t) s 2 (t) dt =s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)
Рис. 2.12. Сигналы и ВКФ
Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, а значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0. Это можно наглядно видеть на рис. 2.12, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.27) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)).
При t=0 сигналы ортогональны и значение B 12 (t)=0. Максимум В 12 (t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t). При вычислении значений B 21 (-t) аналогичный процесс выполняется последовательным сдвигом сигнала s1(t) вправо по временной оси с постепенным увеличением отрицательных значений t, а соответственно значения B 21 (-t) являются зеркальным (относительно оси t=0) отображением значений B 12 (t), и наоборот. На рис. 2.13 это можно видеть наглядно.
Рис. 2.13. Сигналы и ВКФ
Таким образом, для вычисления полной формы ВКФ числовая ось t должна включать отрицательные значения, а изменение знака t в формуле (2.27) равносильно перестановке сигналов.
Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода систем при изучении характеристик систем.
Функция коэффициентов взаимной корреляции двух сигналов вычисляется по формуле (по центрированным сигналам):
r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2.28)
Значение коэффициентов взаимной корреляции может изменяться от -1 до 1.
Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов часто на практике оказывается необходимой характеристика, которая давала бы представление о некоторых свойствах сигнала, в частности о скорости изменения во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.
В качестве такой временной характеристики широко используется корреляционная функция сигнала.
Для детерминированного сигнала s (t ) конечной длительности корреляционная функция определяется следующим выражением:
где τ - временной сдвиг сигнала.
В данной главе рассматриваются сигналы, являющиеся вещественными функциями времени, и обозначение комплексного сопряжения можно опустить:
.
(1.78)
Из выражения (1.78) видно, что B s (t ) характеризует степень связи (корреляции) сигналаs ( t ) со своей копией, сдвинутой на величину т по оси времени. Ясно, что функцияB s ( t ) достигает максимума при τ = 0, так как любой сигнал полностью коррелирован с самим собой. При этом
,
(1.79)
т. е. максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала.
С увеличением τ функция В 8 (τ) убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналовs (t ) иs (t + τ) на время, превышающее длительность сигнала, обращается в нуль.
Из общего определения корреляционной функции видно, что безразлично, вправо или влево относительно своей копии сдвигать сигнал на величину τ. Поэтому выражение (1.78) можно обобщить следующим образом:
.
(1.78)
Это равносильно утверждению, что B s (τ) являетсячетной функцией τ.
Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно велика, определение корреляционной функции с помощью выражений (1.129) или (1.129") неприемлемо. В этом случае исходят из следующего определения:
При таком определении
корреляционная функция приобретает
размерность мощности, причем B
Sne р (0) равна средней мощности периодического
сигнала. Ввиду периодичности сигналаs(
t
)
усреднение произведения
или
по
бесконечно большому отрезкуТ
должно совпадать с усреднением по
периодуT 1 . Поэтому
выражение (1.79) можно заменить выражением
Входящие в это выражение интегралы суть не что иное, как корреляционная функция сигнала на интервале T 1 . Обозначая ее через B sTl (τ ), приходим к соотношению
Очевидно также,
что периодическому сигналу s(t
)
соответствует и периодическая
корреляционная функцияB
s
пер
(τ).
Период функцииB
s
пер
(τ)
совпадает с периодомТ
1
исходного сигналаs(
t
).
Например, для простейшего (гармонического)
колебания
корреляционная функция
При τ=0
есть средняя мощность гармонического
колебания с амплитудойА
0
.
Важно отметить, что корреляционная
функция
не зависит от начальной фазы колебания
.
Для оценки степени связи между двумя различными сигналами s 1 ( t ) иs 2 ( t ) используется взаимная корреляционная функция, определяемая общим выражением
Для вещественных функций s 1 (t) иs 2 (t)
Рассмотренная
выше корреляционная функция В
s
(τ)
является частным случаем функции
,
когдаs 1 (
t
)
=s 2 (
t
).
В отличие от
взаимная корреляционная функция не
обязательно является четной
относительно τ. Кроме того, взаимная
корреляционная функцияне
обязательно
достигает максимума
приτ = 0.
Как известно, множество натуральных чисел можно упорядочить при помощи отношения «меньше». Но правила построения аксиоматической теории требуют, чтобы это отношение было не только определено, но и сделано это на основе уже определенных в данной теории понятий. Сделать это можно, определив отношение «меньше» через сложение.
Определение. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.
Теорема 12. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b , а < b.
Доказательство этой теоремы мы опускаем . Из этой теоремы вытекает, что если
а ¹ b, то либо а < b, либо а > b, т.е. отношение «меньше» обладает свойством связанности.
Теорема 13. Если а < b и b < с. то а < с.
Доказательство. Эта теорема выражает свойство транзитивности отношения «меньше».
Так как а < b и b < с. то, по определению отношения «меньше», найдутся такие натуральные числа к и /, что b = а + к и с = b + I. Но тогда с = (а + к) + / и на основания свойства ассоциативности сложения получаем: с = а + (к + /). Поскольку к + I - натуральное число, то, согласно определению «меньше», а < с.
Теорема 14 . Если а < b, то неверно, что b < а. Доказательство. Эта теорема выражает свойство антисимметричности отношения «меньше».
Докажем сначала, что ни для одного натурального числа а не вы-!>! ■ )ея отношение а < а. Предположим противное, т.е. что а < а имеет место. Тогда, по определению отношения «меньше», найдется такоенатуральное число с, что а + с = а, а это противоречит теореме 6.
Докажем теперь, что если а < b , то неверно, что b < а. Предположим противное, т.е. что если а < b , то b < а выполняется. Но из этих равенств по теореме 12 имеем а < а, что невозможно.
Так как определенное нами отношение «меньше» антисимметрично и транзитивно и обладает свойством связанности, то оно является отношением линейного порядка, а множество натуральных чисел линейно упорядоченным множеством.
Из определения «меньше» и его свойств можно вывести известные свойства множества натуральных чисел.
Теорема 15. Из всех натуральных чисел единица является наименьшим числом, т.е. I < а для любого натурального числа а¹1.
Доказательство. Пусть а - любое натуральное число. Тогда возможны два случая: а = 1 и а ¹ 1. Если а = 1, то существует натуральное число b, за которым следует а: а = b " = b + I = 1 + b , т.е., по определению отношения «меньше», 1 < а. Следовательно, любое натуральное равно 1 либо больше 1. Или, единица является наименьшим натуральным числом.
Отношение «меньше» связано со сложением и умножением чисел свойствами монотонности.
Теорема 16.
а = b => а + с = b + с и а с = b с;
а < b => а + с < b + с и ас < bс;
а > b => а + с > b + с и ас > bс.
Доказательство. 1) Справедливость этого утверждения вытекает из единственности сложения и умножения.
2) Если а < b,
то существует такое натуральное число k,
что а
+ k = b.
Тогда b
+ с = (а + к) + с = а + (к + с) = а + (с
+ к)
= (а + с) + к.
Равенство b
+ с = (а + с) + к
означает, что а + с < b
+ с.
Точно так же доказывается, что а < b => ас < bс.
3) Доказывается аналогично.
Теорема 17 (обратная теореме 16).
1) а + с = Ь + с или ас ~ Ьс- Þ а = Ь
2) а + с < Ь + с или ас < Ьс Þ а < Ь:
3) а + с > Ь + с или ас > Ьс Þ а > Ь.
Доказательство. Докажем, например, что из ас < bс следует а < b Предположим противное, т.е. что заключение теоремы не выполняется. Тогда не может быть, что а = b. так как тогда бы выполнялось равенство ас = bс (теорема 16); не может быть и а > b, так как тогда бы ас > bс (теорема!6). Поэтому, согласно теореме 12, а < b.
Из теорем 16 и 17 можно вывести известные правила почленного сложения и умножения неравенств. Мы их опускаем.
Теорема 18 . Для любых натуральных чисел а и b ; существует такое натуральное число n, что п b> а.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого а найдется такое число п , что п > а. Для этого достаточно взять п = а + 1. Перемножая почленно неравенства п > а и b > 1, получаем пb > а.
Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства.
1. Ни для одного натурального числа а
не существует такого натурального числа п,
что а < п < а +
1. Это свойство называется свойством
дискретности
множества натуральных чисел, а числа а
и а +
1 называют соседними.
2.
Любое непустое подмножество натуральных чисел содержит
наименьшее число.
3. Если М
- непустое подмножество множества натуральных чисел
и существует такое число b,
что для всех чисел х из М
выполняется не
равенство х < b,
то в множестве М
есть наибольшее число.
Проиллюстрируем свойства 2 и 3 на примере. Пусть М - множество двузначных чисел. Так как М есть подмножество натуральных чисел и для всех чисел этого множества выполняется неравенство х < 100, то в множестве М есть наибольшее число 99. Наименьшее число, содержащееся в данном множестве М, - число 10.
Таким образом, отношение «меньше» позволило рассмотреть (и в ряде случаев доказать) значительное число свойств множества натуральных чисел. В частности, оно является линейно упорядоченным, дискретным, в нем есть наименьшее число 1.
С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел младшие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется определение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 - это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».
Упражнения
1, Почему множество натуральных чисел нельзя упорядочить при помощи отношения «непосредственно следовать за»?
Сформулируйте определение отношения а > b и докажите, что оно транзитивно и антисимметрично.
3. Докажите, что если а, b, с - натуральные числа, то:
а) а < b Þ ас < bс;
б) а + с < b + сÞ > а < Ь.
4. Какие теоремы о монотонности сложения и умножения могут
использовать младшие школьники, выполняя задание «Сравни, не выполняя вычислений»:
а) 27 + 8 ... 27 + 18;
б) 27- 8 ... 27 -18.
5. Какие свойства множества натуральных чисел неявно используют младшие школьники, выполняя следующие задания:
А) Запиши числа, которые больше, чем 65, и меньше, чем 75.
Б) Назови предыдущее и последующее числа по отношению к числу 300(800,609,999).
В) Назови самое маленькое и самое большое трехзначное число.
Вычитание
При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.
Определение. Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а - b = с тогда и только тогда, когда b+с = а.
Число а - b называется разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b - вычитаемым.
Теорема 19. Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только тогда, когда b < а.
Доказательство. Пусть разность а - b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а этозначит, что b < а.
Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а - b, т.е. разность а - b существует.
Теорема 20. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.
Доказательство. Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b ;: а – b = с₁ и а - b = с₂ , причем с₁ ¹ с₂ . Тогда по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂ : . Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с₂ : и на основании теоремы 17 заключаем, с₁ = с₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.
Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
Теорема 21 . Пусть а. b и с - натуральные числа.
а) Если а > с, то (а + b) - с = (a - с) + b.
б) Если b > с. то (а + b) - с - а + (b - с).
в) Если а > c и b > с.
то можно использовать любую из данных формул.
Доказательство. В случае а) разность чисел а
и c
существует, так как а > с.
Обозначим ее через х: а - с = х.
откуда а = с + х
. Если (а
+ b) - с = у.
то, по определению разности, а
+ b
= с
+ у
. Подставим в это равенство вместо а
выражение с + х
: (с + х) + b = с + у.
Воспользуемся свойством ассоциативности сложения: с + (х + b) = с
+ у
. Преобразуем это равенство на основе свойства монотонности сложения, получим:
х + b = у. .Заменив в данном равенстве х на выражение а - с, будем иметь (а - г) + b = у. Таким образом, мы доказали, что если а > с, то (а + b) - с = (a - c) + b
Аналогично проводится доказательство и в случае б).
Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила, удобного для запоминания: дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.
Теорема 22. Пусть а, b и с - натуральные числа. Если а > b + с, то а - (b + с) = (а - b) - с или а - (b + с) = (а - c) - b.
Доказательство этой теории аналогично доказательству теоремы 21.
Теорему 22 можно сформулировать в виде правила, для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.
В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над однозначными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычитание связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Вычитая, например, из числа 40 число 16, учащиеся рассуждают так: «Вычесть из 40 число 16 - что значит найти такое число, при сложении которого с числом 16 получается 40; таким числом будет 24, так как 24 + 16 = 40. Значит. 40 - 16 = 24».
Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа в начальном курсе математики являются теоретической основой различных приемов вычислений. Например, значение выражения (40 + 16) - 10 можно найти, не только вычислив сумму в скобках, а затем вычесть из нее число 10, но и таким образом;
а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
б) (40 + 16) - 10 = 40 +(16- 10) = 40 + 6 = 46.
Упражнения
1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из непосредственно следующего вычитанием единицы?
2. В чем особенность логической структуры теоремы 19? Можно ли ее сформулировать, используя слова «необходимо и достаточно»?
3. Докажите, что:
а) если b > с, то (а + b) - с = а + (b - с );
б) если а > b + с , то а - (b + с) = (а - b) - с.
4.Можно ли, не выполняя вычислений, сказать, значения каких выражений будут равны:
а) (50 + 16)- 14; г) 50 + (16 -14),
б) (50 - 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.
а) 50 - (16 + 14); г) (50 - 14) + 16;
б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;
в) (50 - 16) - 14; е) 50 - 16- 14.
5. Какие свойства вычитания являются теоретической основой следующих приемов вычислении, изучаемых в начальном курсе математики:
12 - 2-3 12 -5 = 7
б) 16-7 = 16-6 - П;
в) 48 - 30 = (40 + 8} - 30 = 40 + 8 =18;
г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида. а - b - с и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.
7. Докажите, что при b < а и любых натуральных c верно равенство (a – b) с = ас - bс.
Указание. Доказательство основывается на аксиоме 4.
8. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответы обоснуйте.
а) 7865 × 6 – 7865 ×5: б) 957 × 11 - 957; в) 12 × 36 – 7 × 36.
Деление
При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.
Определение. Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а: b = с тогда и только тогда, когда b × с = а.
Число а:b называется частным чисел а и b, число а делимым, число b - делителем.
Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие существования частного.
Теорема 23. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b , необходимо, чтобы b < а.
Доказательство. Пусть частное натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1 £ с, то, умножив обе его части на натуральное число b , получим b £ bс. Но bс = а, следовательно, b £ а.
Теорема 24. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.
Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы (разности, произведения) на число.
Теорема 25. Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с , т.е. (а + b) :с = а:с + b :с.
Доказательство. Так как число а делится на с, то существует такое натуральное число х = а; с, что а = сх. Аналогично существует такое натуральное число у = b :с, что
b = су. Но тогда а + b = сх + су =- с(х + у). Это значит, что а + b делится на c, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число c, равно х + у, т.е. ах + b: с.
Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила деления суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
Теорема 26. Если натуральные числа а и b делятся на число с и а > b, то разность а - b делится на c, причем частное, получаемое при делении разности на число c, равно разности частных, получаемых при делении а на с и b на c, т.е. (а - b):с = а: с - b:с.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Эту теорему можно сформулировать в виде правила деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.
Теорема 27. Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение аb делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения аb на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, ичисла b: (а × b):с - (а:с) × b.
Д о к азательство. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число х, что а:с = х, откуда а = сх. Умножив обе части равенства на b, получим аb = (сх)b. Поскольку умножение ассоциативно, то (сх) b = с(х b). Отсюда (а b):с = х b= (а:с) b. Теоремуможно сформулировать в виде правила деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.
В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 - это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16×3 = 48. Следовательно, 48: 16 = 3.
Упражнения
1. Докажите, что:
а) если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно;
б) если числа а и b
делятся на с
и а > b,
то (а - b): с = а: с - b: с.
2. Можно ли утверждать, что все данные равенства верные:
а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2×7) = 56:7:2;
в) 850:170 =850:10:17.
Какое правило является обобщением данных случаев? Сформулируйте его и докажите.
3. Какие свойства деления являются теоретической основой для
выполнения следующих заданий, предлагаемых школьникам начальных классов:
можно ли, не выполняя деления, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:
а) (40+ 8):2; в) 48:3; д) (20+ 28):2;
б) (30 + 16):3; г)(21+27):3; е) 48:2;
Верны ли равенства:
а) 48:6:2 = 48:(6:2); б) 96:4:2 = 96:(4-2);
в) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Опишите возможные способы вычисления значения выражения
вида:
а) (а + b):с; б) а : b : с; в) (а × b) : с .
Предложенные способы проиллюстрируйте на конкретных примерах.
5. Найдите значения выражения рациональным способом; свои
действия обоснуйте:
а) (7× 63):7; в) (15× 18):(5× 6);
б) (3× 4× 5): 15; г) (12 × 21): 14.
6. Обоснуйте следующие приемы деления на двузначное число:
а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;
б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;
в) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
г) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.
7. Не выполняя деления уголком, найдите наиболее рациональным
способом частное; выбранный способ обоснуйте:
а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;
6) 425:85; г) 225:9; е) 455:65.
Лекция 34.Свойства множества целых неотрицательных чисел
1. Множество целых неотрицательных чисел. Свойства множества целых неотрицательных чисел.
2. Понятие отрезка натурального ряда чисел и счета элементов конечного множества. Порядковые и количественные натуральные числа.