1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
До определенных пор теория вероятностей ограничивалась понятием случайных величин. Их использование позволяет выполнять статические расчеты, учитывающие случайные факторы. Однако механические системы подвергаются также разнообразным динамическим, то есть изменяющимся во времени воздействиям случайного характера. К ним относятся, в частности, вибрационные и ударные воздействия при движении транспортных средств, аэродинамические силы, вызванные атмосферной турбулентностью, сейсмические силы, нагрузки, обусловленные случайными отклонениями от номинальных режимов работы машин.
Случайные динамические явления изучаются при анализе тенденций в экономике (например, изменения курса акций или валюты). Работа в условиях случайных возмущений характерна для систем управления разнообразными динамическими объектами.
Для анализа подобных явлений используется понятие случайной функции . Случайной функцией X (t ) называется такая функция аргумента t , значение которой при любом t является случайной величиной. Если аргумент принимает дискретные значения t 1 , t 2 , …, t k то говорят о случайной последовательности X 1 , X 2 ,…, X k , где X i = X (t i ).
Во многих практических задачах неслучайный аргумент t имеет смысл времени, при этом случайную функцию называют случайным процессом , а случайную последовательность – временным рядом . Вместе с тем, аргумент случайной функции может иметь и иной смысл. Например, речь может идти о рельефе местности Z (x , y ), где аргументами являются координаты местности x и y , а роль случайной функции играет высота над уровнем моря z. В дальнейшем, для определенности, имея в виду приложения случайных функций к исследованию динамических систем, будем говорить о случайных процессах.
Предположим, что при исследовании случайного процесса X (t ) произведено n независимых опытов, и получены реализации
представляющие собой n детерминированных функций. Соответствующее семейство кривых в определенной мере характеризует свойства случайного процесса. Так, на рис.1.1а представлены реализации случайного процесса с постоянными средним уровнем и разбросом значений возле среднего, на рис. 1.1б – реализации случайного процесса с постоянным средним и изменяющимся разбросом, на рис. 1.1в – реализации случайного процесса с изменяющимися во времени средним и разбросом.
Рис.1.1. Типичные реализации случайных процессов
На рис. 1.2 показаны реализации двух случайных процессов, имеющих одинаковый средний уровень и разброс, но различающихся плавностью. Реализации случайного процесса на рис. 1.2а имеют высокочастотный характер, а на рис. 1.2б – низкочастотный.
Рис. 1.2. Высокочастотный и низкочастотный случайные процессы
Таким образом, X
(t
) можно рассматривать и как совокупность всевозможных
реализаций, которая подчиняется определенным вероятностным закономерностям. Как
и для случайных величин, исчерпывающую характеристику этих закономерностей дают
функции или плотности распределения. Случайный процесс считается заданным, если
заданы все многомерные законы распределения случайных величин X
(t i
), X
(t
2
), …, X
(t n
) для любых значений t
1
, t
2
, …, t n
из области изменения аргумента t
. Речь идет, в частности, об
одномерной плотности распределения , двумерной плотности
распределения 
и т.д. .
Для упрощения анализа в большинстве случаев ограничиваются моментными характеристиками, причем чаще всего используют моменты первого и второго порядков. Для характеристики среднего уровня случайного процесса служит математическое ожидание
. (1.1)
Для характеристики амплитуды отклонений случайного процесса от среднего уровня служит дисперсия
Для характеристики изменчивости (плавности) случайного процесса служит корреляционная (автокорреляционная) функция
(1.3)
Как следует из (1.3), корреляционная функция представляет собой ковариацию случайных величин X (t 1) и X (t 2). Ковариация же, как известно из курса теории вероятностей, характеризует взаимозависимость между X (t 1) и X (t 2).
В рамках корреляционной теории случайных функций, которая оперирует лишь моментами первого и второго порядков, могут быть решены многие технические задачи. В частности, могут быть определены априорная, а также условная вероятности выхода случайного процесса за пределы заданных границ. Вместе с тем, некоторые важные в практическом плане задачи не решаются средствами корреляционной теории и требуют использования многомерных плотностей распределения. К таким задачам относится, например, расчет среднего времени нахождения случайного процесса выше или ниже заданной границы.
2. ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
2.1. Квазидетерминированные случайные процессы
координаты цели, измеряет РЛС; угол атаки самолета; нагрузка в электрической цепи.
5. Типы случайных процессов.
В математике существует понятие случайной функции.
Случайная функция – такая функция, которая в результате опыта принимает тот или иной конкретный вид, причем заранее не известный какой именно. Аргумент такой функции – неслучайный. Если аргумент – время, то такая функция называется случайным процессом . Примеры случайных процессов:
Особенность случайной функции (процесса) в том, что при фиксированном значении аргумента (t ) случайная функция является случайной величиной, т.е. при t = t i Х (t ) = X (t i ) – случайная величина.
Рис. 2.1. Графическое представление случайной функции
Значения случайной функции при фиксированном аргументе называются его сечением . Т.к. случайная функция может иметь бесконечное множество сечений, а в каждом сечении она представляет собой случайную величину, то случайную функцию можно рассматривать как бесконечномерный случайный вектор .
Теория случайных функций часто называется теорией случайных (стохастических)
процессов.
Для каждого сечения случайного процесса можно указать m x (t i ), D x (t i ), x (t i ) и в общем случае – х (t i ).
Кроме случайных функций времени иногда используются случайные функции координат точки пространства. Эти функции приводят в соответствие каждой точке пространства некоторую случайную величину.
Теория случайных функций координат точки пространства называют теорией случайных полей . Пример: вектор скорости ветра в турбулентной атмосфере.
В зависимости от вида функции и вида аргумента различают 4 типа случайных процессов.
Таблица 2.1 Типы случайных процессов
размер лужи (непрерывнозначна довательность)
Кроме того различают:
1. Стационарный случайный процесс – вероятностные характеристики которого не зависит от времени, т.е. х (х 1 , t 1 ) = х (х 2 , t 2 ) = … х (х n , t n )=const.
2. Нормальный случайный процесс (Гаусса) – совместная плотность вероятности сечений t 1 … t n – нормальная.
3. Марковский случайный процесс (процесс без последствия) состояние в каждый момент времени которого зависит только от состояния в предшествующий момент и не зависит от прежних состояний. Марковская цель – последовательность сечений марковского случайного процесса.
4. Случайный процесс типа белого шума – в каждый момент состояния не зависит от предшествующего.
Существуют и другие случайные процессы
Широкое практическое использование при исследовании состояния разных технических объектов получили три типа случайных процессов - гауссовский, стационарный и марковский.
Гауссовский случайный процесс - это случайный процесс X(t), распределение вероятностей параметров которого подчиняется нормальному закону. Математическое ожидание (среднее значение)М[Х(t)] и корреляционная функция K х (t 1 ,t 2) однозначно определяют распределение его параметров, следовательно, и процесс в целом.
Стационарный случайный процесс (однородный во времени случайный процесс) - это такой случайный процесс X(t), статистические характеристики которого постоянны во времени, то есть инвариантны к кратковременным возмущениям: t → t + τ, X(t) → X(t + τ) при любом фиксированном значении τ. Процесс полностью определяется математическим ожиданием M и корреляционной функцией
К х (t,τ) = M.
Марковский случайный процесс - это такой случайный процесс, при котором вероятность нахождения системы в каком-либо состоянии в будущем зависит от того, в каком состоянии система находится в заданный момент времени и не зависит от того, каким путем система перешла в это состояние. Короче - «будущее» и «прошлое» процесса при известном его «настоящем» не связаны друг с другом. Часто марковский процесс характеризуется вероятностями перехода системы из одного состояния в другое (переходными вероятностями).
Изменение технического состояния системы
Как уже говорилось, задача прогнозирования технического состояния, в самом общем понимании, представляет собой получение некоторых вероятностных характеристик работоспособности системы в будущем на основе данных контроля ее настоящего и прошедших состояний.
В зависимости от того, какая характеристика случайного процесса определяется при прогнозировании, различают прогнозирование надежности (определение условной плотности вероятности безотказной работы системы после контроля) и прогнозирование технического состояния (определение условной плотности распределения вероятностей значений определяющего параметра) на основе прошлых и настоящего состояний. На рис 8.1 проиллюстрирована разница между этими характеристиками. На этом рисунке x(t) - отрезок реализации случайного процесса X(t), описывающий изменение во времени некоторого определяющего параметра системы, имеющего допустимые границы (а, b) изменения. Отрезок реализации получен в результате наблюдения за конкретным экземпляром системы из заданного класса систем на интервале времени (0, t k 2). В момент t k 2 был осуществлен последний контроль системы, и на его основе необходимо решить - пригодна ли система к эксплуатации до наступления очередного момента контроля t k 3 .
рис. 8.1 Условная плотность вероятности безотказной работы р{x(t)} и f{(x(t)} условная плотность распределения вероятностей значений определяющего параметра
В связи с тем, что внешние воздействия, воспринимаемые системой, имеют случайный характер, случайный процесс после момента t k 2 может изменяться по разному (см. пунктирные линии на рис. 8.1). Процесс, являющийся продолжением некоторого исходного процесса при условии, что на интервале (0,t k 2) его реализация имела конкретный вид х(t), называется условным , или апостериорным , случайным процессом:
Х ps (t)=x. (8.5)
Следовательно, для принятия обоснованного решения о назначении срока очередного контроля системы необходимо знать характеристики апостериорного случайного процесса. Пригодной для выполнения задачи будет считаться система, определяющие параметры которой находятся в допустимых границах (а, b) в момент предыдущего контроля и не выйдут из этих границ до конца заданного срока функционирования. Поскольку выход определяющих параметров за допустимые границы является случайным событием, то оценкой работоспособности системы может быть условная вероятность безотказной ее работы после контроля. Это вероятность того, что случайный процесс ни разу не пересечет границу (a, b) после момента контроля; ее называют прогнозированной надежностью системы и обозначают
P{x(t)=<<(ba)/X(t)=x(t), 0< Таким образом, прогнозированием надежности называется определение условной вероятности безотказной работы системы при условии, что в момент контроля она находилась в некотором фиксированном работоспособном состоянии. Наиболее полной характеристикой будущего технического состояния системы является условная плотность распределения вероятностей ее определяющих параметров, то есть будущих значений случайного процесса f{x(t k 3)/X(t)=x(t), 0< при условии, что на интервале (0,t k 3) реализация процесса имела конкретный вид (рис. 8.1). 1.1.1.
Гауссовские случайные процессы
гауссовским
, если
все его конечномерные распределения
являются нормальными, то есть t 1 ,t 2 ,…,t n случайный вектор (X(t 1);X(t 2);…;X(t n)) имеет
следующую плотность распределения: где
a i =MX(t i);
1.1.2.
Случайные процессы с независимыми
приращениями
с независимыми
приращениями
, если его приращения
на непересекающихся временных промежутках
не зависят друг от друга: случайные
величины X(t 2)-X(t 1);
X(t 3)-X(t 2);
…; X(t n)-X(t n-1) независимы. 1.1.3.
Случайные процессы с некоррелированными
приращениями
Случайный процесс X(t)
называется процессомс некоррелированными
приращениями,
если выполняются
следующие условия: 1)
2)
1.1.4.
Стационарные случайные процессы (см.
Глава 5)
1.1.5.
Марковские случайные процессы
Ограничимся определением марковского
случайного процесса с дискретными
состояниями и дискретным временем (цепь
Маркова). Пусть система А может находиться в
одном из несовместных состояний А
1
;
А
2
;…;А
n
,
и при этом вероятность Р
ij
(
s
)
того, что в
s
-ом
испытании система переходит из состояния
1.1.6.
Пуассоновские случайные процессы
Случайный процесс X(t)
называетсяпуассоновским
процессом с параметром а (а>0), если он
обладает следующими свойствами: 1) t а также учитывая, что первое слагаемое является детерминированной величиной, а второе слагаемое при статистическом усреднении с помощью одномерной плотности вероятности [см. (4.22)] обращается в нуль, получаем Такой же результат получается и при усреднении произведения по времени для любой реализации процесса. Независимость среднего значения от и корреляционной функции от положения интервала - на оси времени позволяет считать рассматриваемый процесс стационарным. Совпадение же результатов усреднения по множеству и времени (для любой реализации) указывает на эргодичность процесса. Аналогичным образом нетрудно показать, что гармоническое колебание со случайной амплитудой и случайной фазой образует стационарный, но не эргодический процесс (различные реализации обладают неодинаковой дисперсией). Нормальный (гауссовский) закон распределения случайных величин чаще других встречается в природе. Нормальный процесс особенно характерен для помех канала связи. Он очень удобен для анализа. Поэтому случайные процессы, распределение которых не слишком сильно отличается от нормального, часто заменяют гауссовским процессом. Одномерная плотность вероятности нормального процесса определяется выражением В данном параграфе рассматривается стационарный и эргодический гауссовский процесс. Поэтому под можно подразумевать соответственно постоянную составляющую и среднюю мощность флуктуационной составляющей одной (достаточно длительной) реализации случайного процесса. Графики плотности вероятности при нормальном законе для некоторых значений изображены на рис. 4.7. Функция симметрична относительно среднего значения. Чем больше тем меньше максимум, а кривая становится более пологой [площадь под кривой равна единице при любых значениях ]. Широкое распространение нормального закона распределения в природе объясняется тем, что при суммировании достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин распределение суммы близко к нормальному при любом распределении отдельных слагаемых. Это положение, сформулированное в 1901 г. А. М. Ляпуновым, получило название центральной предельной теоремы. Наглядными физическими примерами случайного процесса с нормальным законом распределения являются шумы, обусловленные тепловым движением свободных электронов в проводниках электрической цепи как дробовым эффектом в электронных приборах (см. § 7.3.). Рис. 4.7. Одномерная плотность вероятности нормального распределения Рис. 4.8. Случайные функции с одинаковым распределением (нормальным), но с различными частотными спектрами Не только шумы и помехи, но и полезные сигналы, являющиеся суммой большого числа незавнси случайных элементарных сигналов, например гармонических колебаний со случайной фазой или амплитудой, часто можно трактовать гауссовские случайные процессы. На основе функции можно найти относительное время пребывания сигнала в определенном интервале уровней, отношение максимальных значений к среднеквадратическому (пикфактор) и ряд других важных для практики параметров случайного сигнала. Поясним это на примере одной из реализаций гауссовского процесса, изображенной на рис. 4.8, а для Эта функция времени соответствует шумовой помехе, энергетический спектр которой простирается от нулевой частоты до некоторой граничной частоты. Вероятность пребывания значения х(t) в интервале от а до b определяется выражением (4.1). Подставляя в это выражение (4.28), при получаем
T
,
=M(X(t i)-a i) 2 ;
с ij =M((X(t i)-a i)(X(t j)-a j));
;
-алгебраическое
дополнение элемента с ij .
t 1 ,t 2 ,…,t n 
T:t 1 ≤t 2
≤…≤t n ,
t
T:
МX 2 (t)
< ∞;
t 1 ,t 2 ,t 3 ,t 4 
T:t 1 ≤t 2
≤t 3 ≤t 4: М((X(t 2)-X(t 1))(X(t 4)-X(t 3)))=0.
в состояние А
j
,
не зависит от состояния системы в
испытаниях, предшествующих
s
-1-ому.
Случайный процесс данного типа называется
цепью Маркова.
T;
Т=. Подставляя в (4.8)3. ГАУССОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС
