Pêndulo matemático chamado de corpo de pequeno tamanho, suspenso em um fino fio inextensível, cuja massa é desprezível em comparação com a massa do corpo. Na posição de equilíbrio, quando o pêndulo está pendurado em um fio de prumo, a força da gravidade é equilibrada pela força da tensão do fio. F τ = - mg sin φ (Fig. 2.3.1). O sinal de menos nesta fórmula significa que o componente tangencial é direcionado na direção oposta à deflexão do pêndulo.
Se denotado por x deslocamento linear do pêndulo da posição de equilíbrio ao longo do arco de um círculo de raio eu, então seu deslocamento angular será igual a φ = x / eu. A segunda lei de Newton, escrita para as projeções dos vetores aceleração e força na direção da tangente, dá:
Esta relação mostra que o pêndulo matemático é um não linear sistema, uma vez que a força que tende a devolver o pêndulo à sua posição de equilíbrio é proporcional ao não deslocamento x, mas
Somente no casopequenas flutuações quando pertopode ser substituído poro pêndulo matemático é um oscilador harmônico, ou seja, um sistema capaz de realizar oscilações harmônicas. Na prática, esta aproximação é válida para ângulos da ordem de 15-20°; enquanto o valor difere de não mais de 2%. As oscilações do pêndulo em grandes amplitudes não são harmônicas.
Para pequenas oscilações de um pêndulo matemático, a segunda lei de Newton é escrita como
Então a aceleração tangencial umaτ do pêndulo é proporcional ao seu deslocamento x tomada com o sinal oposto. Esta é precisamente a condição sob a qual o sistema é um oscilador harmônico. De regra geral para todos os sistemas capazes de realizar oscilações harmônicas livres, o módulo do fator de proporcionalidade entre a aceleração e o deslocamento da posição de equilíbrio é igual ao quadrado da frequência circular:
Esta fórmula expressa frequência natural de pequenas oscilações de um pêndulo matemático .
Consequentemente,
Qualquer corpo montado em um eixo horizontal de rotação é capaz de realizar oscilações livres no campo gravitacional e, portanto, também é um pêndulo. Tal pêndulo é chamado físico (Fig. 2.3.2). Difere do matemático apenas na distribuição das massas. Em uma posição de equilíbrio estável, o centro de massa C do pêndulo físico está abaixo do eixo de rotação O na vertical que passa pelo eixo. Quando o pêndulo se desvia de um ângulo φ, surge um momento de gravidade, tendendo a retornar o pêndulo à posição de equilíbrio:
|
M = -(mg pecado fi) d. |
Aqui d- distância entre o eixo de rotação e o centro de massa C.
|
|
|
Figura 2.3.2. pêndulo físico |
O sinal de menos nesta fórmula, como de costume, significa que o momento das forças tende a girar o pêndulo na direção oposta ao seu desvio da posição de equilíbrio. Como no caso de um pêndulo matemático, o momento de retorno M proporcional. Isso significa que somente em pequenos ângulos, quando, o pêndulo físico é capaz de realizar oscilações harmônicas livres. No caso de pequenas oscilações
e a segunda lei de Newton para um pêndulo físico assume a forma
onde ε é a aceleração angular do pêndulo, eu- o momento de inércia do pêndulo em torno do eixo de rotação O. O módulo do fator de proporcionalidade entre aceleração e deslocamento é igual ao quadrado da frequência circular:
Aqui ω 0 - frequência natural de pequenas oscilações de um pêndulo físico .
Consequentemente,
Derivação mais rigorosa de fórmulas para ω 0 e T pode ser feito se levarmos em conta a relação matemática entre aceleração angular e deslocamento angular: aceleração angular ε é a segunda derivada do deslocamento angular φ em relação ao tempo:
Portanto, a equação que expressa a segunda lei de Newton para um pêndulo físico pode ser escrita como
Esta é a equação das vibrações harmônicas livres.
O coeficiente nesta equação tem o significado do quadrado da frequência circular de oscilações harmônicas livres de um pêndulo físico.
De acordo com o teorema da translação paralela do eixo de rotação (o teorema de Steiner), o momento de inércia eu pode ser expresso em termos do momento de inércia euC em torno de um eixo que passa pelo centro de massa C pêndulo e eixo paralelo de rotação:
Finalmente, para a frequência circular ω 0 de oscilações livres do pêndulo físico, obtém-se a seguinte expressão:
A PARTIR DEcaptura de telabuscadefinição profissionalistoplanetas
OBJETIVO: testar experimentalmente a lei de conservação da energia do movimento translacional-rotacional no pêndulo de Maxwell; determine a velocidade do movimento de translação do pêndulo a partir das relações de energia e cinemática e compare-as.
EQUIPAMENTO: Pêndulo Maxwell com anéis intercambiáveis; cronômetro eletrônico.
FUNDAMENTOS DA TEORIA
A medida mais geral do movimento da matéria é sua energia. Na mecânica, esta é a energia mecânica correspondente ao movimento mecânico dos corpos. Existem dois tipos de energia mecânica: cinética e potencial.
Energia potencial. Energia definida arranjo mútuo corpos interagindo e dependendo apenas das coordenadas, é chamado de potencial. Trabalhar MAS 12 , realizado por forças conservativas quando o sistema é transferido de um estado para outro, é igual à perda de energia potencial nesses estados .
A 12 \u003d W 1 - W 2, (1)
Onde C 1 E C 2 - respectivamente energia potencial sistemas nos estados 1 e 2.
O tipo específico de energia potencial depende da natureza do campo de força. No campo da gravidade, a energia potencial de um corpo de massa m parece:
W = mgh, (2)
Onde g - aceleração de queda livre;
h altura medida a partir do nível onde a energia potencial C=0.
Energia cinética. Esta é a energia que um corpo (ou um sistema de corpos) possui devido ao seu movimento. Se o corpo está se movendo para a frente a uma velocidade v e simultaneamente gira em torno de algum eixo com uma velocidade angular , então complete energia cinética seu movimento é:
Onde m- peso corporal;
eu- momento de inércia.
Como pode ser visto, durante o movimento rotacional, o papel da velocidade linear é desempenhado pela velocidade angular, e o papel da massa é desempenhado pelo momento de inércia. momento angular eu depende não só da massa, mas também da distribuição dessa massa em relação ao eixo de rotação. Significado eu pois alguns corpos de forma geométrica regular (vara longa, disco, bola, cilindro) são dados em livros didáticos no curso de física geral.
Lei da conservação de energia. A energia mecânica de um sistema fechado de corpos entre os quais atuam forças conservativas permanece constante. Nesses sistemas, quando um corpo se move, a energia cinética é convertida em energia potencial e vice-versa, enquanto a energia total permanece constante. (As forças conservativas incluem gravitacional, elástica, Coulomb, etc. Forças não conservativas são as forças de atrito, resistência, deformação inelástica.).
A energia mecânica também é conservada em sistemas não fechados se as forças externas não realizam trabalho, pois a medida da energia é o trabalho realizado.
TÉCNICA EXPERIMENTAL
A verificação da lei de conservação da energia do movimento translacional-rotacional do corpo é realizada no pêndulo de Maxwell. O pêndulo de Maxwell é um disco fixo em um eixo. O eixo, por sua vez, é suspenso em dois fios, fixados com as extremidades superiores nos suportes.
Esses fios podem ser enrolados em torno do eixo e, quando são destorcidos, o pêndulo realiza um movimento translacional-rotacional, ou seja, sobe e desce, girando.
Durante o experimento, dois estados principais foram identificados. No estado de 1 massa pendular m está no topo h. A energia mecânica do sistema neste estado é apenas igual à energia potencial:
E 1 \u003d W 1 \u003d m g h. (4)
Vamos soltar o pêndulo. Sob a ação das forças resultantes da gravidade e da tensão do fio, ele começa a cair (movimento de translação), e as forças de tensão dos fios farão com que ele gire.
Arroz. 1. Forma geral O pêndulo de Maxwell.
T- força de tensão da linha; F g - a força da gravidade.
No estado 2, o pêndulo desceu de uma altura h, avança com a velocidade v, enquanto gira em torno de um eixo que passa pelo centro de massa com uma velocidade angular . Consequentemente, a energia mecânica do sistema no estado 2 é a soma das energias cinéticas do movimento de translação e rotação:
. (5)
Em um sistema selecionado (um pêndulo no campo de gravidade) a lei da conservação da energia deve ser cumprida. A gravidade é uma força conservativa. A força de tensão do fio é uma força externa. mas ela não trabalha, porque seu ponto de aplicação com uma pequena rotação do pêndulo permanece no lugar. Consequentemente:
.
(6)
A velocidade do movimento de translação do pêndulo está relacionada com a velocidade angular pela relação
v = r, (7)
Onde ré o raio do eixo do pêndulo.
Então a fórmula (6) terá a forma:
2gh= v 2 (1+I/mr 2). (8)
E a velocidade do movimento de translação do pêndulo adquire o valor:
.
(9)
Para testar a lei de conservação de energia, calculamos a velocidade de outra forma independente, usando relações cinemáticas conhecidas. Como o movimento do pêndulo é uniformemente acelerado, se durante a queda t o pêndulo passou h, sua aceleração é
a = 2h/t2. (10)
Daí a velocidade do movimento de translação do pêndulo no final do caminho:
v = at = 2h/t. (onze)
A velocidade em (9) depende do momento de inércia do pêndulo, que pode ser alterado instalando vários anéis no disco. O momento de inércia do pêndulo é definido como
I \u003d I 0 + I D + I K. (12)
Onde eu 0 - momento de inércia do eixo,
é o momento de inércia do disco,
é o momento de inércia do anel,
R D , R PARA são os raios do disco e do anel.
O raio do anel é tomado como a média entre os raios interno e externo. Como o raio do eixo do pêndulo é muito menor que o raio do disco, o momento de inércia do eixo pode ser desprezado.
O esquema lógico do método.
Se a velocidade determinada pela lei de conservação de energia pela relação (9) for igual à velocidade determinada cinematicamente pela fórmula (11), isso confirma a conservação de energia para o sistema selecionado.
CONCLUSÃO DO TRABALHO
1. Meça o tempo de queda do pêndulo com um dos anéis indicados pelo professor.
2. Repita as medições 5-10 vezes.
3. Meça a altura de queda e a altura de elevação do pêndulo.
4. Meça o diâmetro do eixo do pêndulo, o diâmetro interno e externo do anel com um paquímetro.
PROCESSANDO OS RESULTADOS
1. Calcule o tempo médio de queda
2. Calcule a velocidade v 1 por relação (11).
3. Calcule o erro de medição de velocidade v 1 de acordo com a regra de cálculo do erro para medições indiretas.
4. Calcule o momento de inércia do pêndulo com o anel. As massas do disco e do anel estão marcadas neles.
5. Calcule a velocidade do pêndulo v 2 pela relação (9).
6. Determine a medida de incompatibilidade = ( v 1 - v 2 )/ v 1 e compare com o erro relativo v 1 = v 1 / v 1 .
TAREFA ADICIONAL
Determine a perda de energia pela diferença entre a altura da queda e a altura subsequente do pêndulo.
Calcule a força de atrito efetiva média que cria a perda de energia.
PERGUNTAS DE CONTROLE
1. Quais são os tipos de energia mecânica? Dê suas definições.
2. Formular a lei de conservação da energia mecânica do sistema e as condições para a sua implementação.
3. Descreva a transformação de energia para o pêndulo de Maxwell.
4. Qual é o momento de inércia de um corpo? Qual é o momento de inércia do disco ou anel?
5. Como é determinada a velocidade de translação do pêndulo de Maxwell?
Na tecnologia e no mundo ao nosso redor, muitas vezes temos que lidar com periódico(ou quase periódico) processos que se repetem em intervalos regulares. Tais processos são chamados oscilatório.
As vibrações são um dos processos mais comuns na natureza e na tecnologia. Asas de insetos e pássaros em voo, arranha-céus e fios de alta tensão sob a ação do vento, o pêndulo de um relógio de corda e um carro nas molas durante o movimento, o nível do rio durante o ano e a temperatura do o corpo humano durante a doença, o som é flutuações na densidade e pressão do ar, ondas de rádio - mudanças periódicas na força dos campos elétricos e magnéticos, a luz visível também é oscilações eletromagnéticas, apenas com comprimento de onda e frequência ligeiramente diferentes, terremotos - vibrações do solo , batimentos do pulso - contrações periódicas do músculo cardíaco humano, etc.
As oscilações são mecânicas, eletromagnéticas, químicas, termodinâmicas e várias outras. Apesar dessa diversidade, todos eles têm muito em comum.
Os fenômenos oscilatórios de várias naturezas físicas estão sujeitos a leis gerais. Por exemplo, oscilações de corrente em um circuito elétrico e oscilações de um pêndulo matemático podem ser descritas pelas mesmas equações. A generalidade das regularidades oscilatórias permite considerar processos oscilatórios de várias naturezas a partir de um único ponto de vista. Um sinal de movimento oscilatório é a sua periodicidade.
Vibrações mecânicas -estamovimentos que se repetem exatamente ou aproximadamente em intervalos regulares.
Exemplos de sistemas oscilatórios simples são um peso em uma mola (pêndulo de mola) ou uma bola em um fio (pêndulo matemático).
Durante as vibrações mecânicas, as energias cinética e potencial mudam periodicamente.
No desvio máximo corpo da posição de equilíbrio, sua velocidade e, consequentemente, energia cinética vai a zero. Nesta posição energia potencial corpo oscilante atinge o valor máximo. Para uma carga em uma mola, a energia potencial é a energia da deformação elástica da mola. Para um pêndulo matemático, esta é a energia no campo gravitacional da Terra.
Quando um corpo em movimento passa por posição de equilibrio, sua velocidade é máxima. O corpo pula a posição de equilíbrio de acordo com a lei da inércia. Neste momento tem energia cinética máxima e energia potencial mínima. Um aumento na energia cinética ocorre à custa de uma diminuição na energia potencial.
Com mais movimento, a energia potencial começa a aumentar devido à diminuição da energia cinética, etc.
Assim, com vibrações harmônicas, há uma transformação periódica de energia cinética em energia potencial e vice-versa.
Se não houver atrito no sistema oscilatório, a energia mecânica total durante as vibrações mecânicas permanece inalterada.
Para carga de mola:
Na posição de deflexão máxima, a energia total do pêndulo é igual à energia potencial da mola deformada:
Ao passar pela posição de equilíbrio, a energia total é igual à energia cinética da carga:
Para pequenas oscilações de um pêndulo matemático:
Na posição de desvio máximo, a energia total do pêndulo é igual à energia potencial do corpo elevado a uma altura h:
Ao passar pela posição de equilíbrio, a energia total é igual à energia cinética do corpo:
Aqui h mé a altura máxima de elevação do pêndulo no campo gravitacional da Terra, x m e υ m = ω 0 x m são os desvios máximos do pêndulo da posição de equilíbrio e sua velocidade.
Oscilações harmônicas e suas características. Equação de oscilação harmônica.
O tipo mais simples de processo oscilatório são simples vibrações harmônicas, que são descritos pela equação
x = x m cos(ω t + φ 0).
Aqui x- deslocamento do corpo da posição de equilíbrio,
x m- a amplitude das oscilações, ou seja, o deslocamento máximo da posição de equilíbrio,
ω – frequência cíclica ou circular hesitação,
t- Tempo.
Características do movimento oscilatório.
Deslocamento x - desvio do ponto oscilante da posição de equilíbrio. A unidade de medida é 1 metro.
Amplitude de oscilação A - o desvio máximo do ponto oscilante da posição de equilíbrio. A unidade de medida é 1 metro.
Período de oscilaçãoT- o intervalo de tempo mínimo para o qual ocorre uma oscilação completa é chamado. A unidade de medida é 1 segundo.
T=t/N
onde t é o tempo de oscilação, N é o número de oscilações feitas durante este tempo.
De acordo com o gráfico de oscilações harmônicas, você pode determinar o período e a amplitude das oscilações:
Frequência de oscilação ν – uma quantidade física igual ao número de oscilações por unidade de tempo.
ν=N/t
A frequência é o inverso do período de oscilação:
Frequência oscilações ν mostra quantas oscilações ocorrem em 1 s. A unidade de frequência é hertz(Hz).
Frequência cíclica ωé o número de oscilações em 2π segundos.
A frequência de oscilação ν está relacionada com frequência cíclica ω e período de oscilação Tíndices:
Estágio processo harmônico - um valor que está sob o sinal de seno ou cosseno na equação de oscilações harmônicas φ = ω t + φ 0 . No t= 0 φ = φ 0 , portanto φ 0 chamado fase inicial.
Gráfico de oscilações harmônicasé uma onda senoidal ou uma onda cosseno.
Em todos os três casos para as curvas azuis φ 0 = 0:
só maior amplitude(x"m > xm);
a curva vermelha é diferente da azul só significado período(T" = T/2);
a curva vermelha é diferente da azul só significado fase inicial(Alegre).
Quando o corpo oscila ao longo de uma linha reta (eixo BOI) o vetor velocidade é sempre direcionado ao longo dessa linha reta. A velocidade do corpo é determinada pela expressão
Em matemática, o procedimento para encontrar o limite da razão Δx / Δt em Δ t→ 0 é chamado de cálculo da derivada da função x(t) por tempo t e é indicado como x"(t).A velocidade é igual à derivada da função x( t) por tempo t.
Pela lei harmônica do movimento x = x m cos(ω t+ φ 0) o cálculo da derivada leva ao seguinte resultado:
υ X =x"(t)= ω x m sin(ω t + φ 0)
Aceleração é definida de forma semelhante um x corpos sob vibrações harmônicas. Aceleração umaé igual à derivada da função υ( t) por tempo t, ou a segunda derivada da função x(t). Os cálculos dão:
a x \u003d υ x "(t) =x""(t)= -ω 2 x m cos(ω t+ φ 0)=-ω 2 x
O sinal de menos nesta expressão significa que a aceleração uma(t) sempre tem o sinal oposto do deslocamento x(t), e, portanto, de acordo com a segunda lei de Newton, a força que faz o corpo realizar oscilações harmônicas é sempre direcionada para a posição de equilíbrio ( x = 0).
A figura mostra gráficos das coordenadas, velocidade e aceleração de um corpo que realiza oscilações harmônicas.
Gráficos de coordenada x(t), velocidade υ(t) e aceleração a(t) de um corpo realizando oscilações harmônicas.
Pêndulo de mola.
Pêndulo de molachame uma carga de alguma massa m, presa a uma mola de rigidez k, cuja segunda extremidade está fixa e imóvel..
frequência naturalω 0 vibrações livres da carga na mola é encontrada pela fórmula:
Período T vibrações harmônicas da carga na mola é igual a
Isso significa que o período de oscilação de um pêndulo de mola depende da massa da carga e da rigidez da mola.
Propriedades físicas do sistema oscilatório determine apenas a frequência de oscilação natural ω 0 e o período T . Tais parâmetros do processo de oscilação como amplitude x m e a fase inicial φ 0 , são determinadas pela forma como o sistema foi desequilibrado no momento inicial.
Pêndulo matemáticochamado de corpo de pequeno tamanho, suspenso em um fino fio inextensível, cuja massa é desprezível em comparação com a massa do corpo.
Na posição de equilíbrio, quando o pêndulo está pendurado em um fio de prumo, a força da gravidade é equilibrada pela força de tensão do fio N. Quando o pêndulo se desvia da posição de equilíbrio por um certo ângulo φ, aparece uma componente tangencial da força da gravidade F τ = – mg pecado fi. O sinal de menos nesta fórmula significa que o componente tangencial é direcionado na direção oposta à deflexão do pêndulo.
Pêndulo matemático.φ - desvio angular do pêndulo da posição de equilíbrio,
x= lφ – deslocamento do pêndulo ao longo do arco
A frequência natural de pequenas oscilações de um pêndulo matemático é expressa pela fórmula:
Período de oscilação de um pêndulo matemático:
Isso significa que o período de oscilação de um pêndulo matemático depende do comprimento do fio e da aceleração de queda livre da área onde o pêndulo está instalado.
Vibrações livres e forçadas.
As oscilações mecânicas, como os processos oscilatórios de qualquer outra natureza física, podem ser gratuitamente E forçado.
Vibrações livres -São vibrações que ocorrem no sistema sob a influência de forças internas, após o sistema ter sido retirado de uma posição de equilíbrio estável.
As oscilações de um peso sobre uma mola ou as oscilações de um pêndulo são oscilações livres.
Para que as oscilações livres ocorram de acordo com a lei harmônica, é necessário que a força que tende a retornar o corpo à posição de equilíbrio seja proporcional ao deslocamento do corpo da posição de equilíbrio e seja direcionada na direção oposta ao deslocamento. .
DENTRO condições reais qualquer sistema oscilatório está sob a influência de forças de atrito (resistência). Neste caso, parte da energia mecânica é convertida em energia interna movimento térmico de átomos e moléculas, e as vibrações tornam-se desbotando.
Em decomposição chamadas vibrações, cuja amplitude diminui com o tempo.
Para que as oscilações não sejam amortecidas, é necessário fornecer energia adicional ao sistema, ou seja, agem no sistema oscilatório com uma força periódica (por exemplo, para balançar).
As oscilações que ocorrem sob a influência de uma força externa que muda periodicamente são chamadas deforçado.
A força externa realiza trabalho positivo e fornece um influxo de energia para o sistema oscilatório. Não permite que as oscilações desapareçam, apesar da ação das forças de atrito.
Uma força externa periódica pode variar no tempo de acordo com várias leis. De particular interesse é o caso quando uma força externa, mudando de acordo com uma lei harmônica com uma frequência ω, atua sobre um sistema oscilatório capaz de realizar oscilações naturais em uma certa frequência ω 0 .
Se as vibrações livres ocorrerem em uma frequência ω 0, que é determinada pelos parâmetros do sistema, então oscilações forçadas constantes sempre ocorrem em frequência ω da força externa .
O fenômeno de um aumento acentuado na amplitude das oscilações forçadas quando a frequência das oscilações naturais coincide com a frequência da força motriz externa é chamadoressonância.
Dependência de amplitude x m oscilações forçadas da frequência ω da força motriz é chamada característica ressonante ou curva de ressonância.
Curvas de ressonância em vários níveis de amortecimento:
1 - sistema oscilatório sem atrito; na ressonância, a amplitude x m das oscilações forçadas aumenta indefinidamente;
2, 3, 4 - curvas de ressonância real para sistemas oscilatórios com diferentes atritos.
Na ausência de atrito, a amplitude das oscilações forçadas na ressonância deve aumentar indefinidamente. Em condições reais, a amplitude das oscilações forçadas em regime permanente é determinada pela condição: o trabalho de uma força externa durante o período de oscilações deve ser igual à perda de energia mecânica no mesmo tempo devido ao atrito. Quanto menos atrito, maior a amplitude das oscilações forçadas na ressonância.
O fenômeno da ressonância pode causar a destruição de pontes, edifícios e outras estruturas, se as frequências naturais de suas oscilações coincidirem com a frequência de uma força atuante periodicamente, que surgiu, por exemplo, devido à rotação de um motor desequilibrado.
Uma pequena bola suspensa em um fio leve e inextensível é capaz de realizar gratuitamente movimento oscilatório (Fig. 598).
arroz. 598
Para descrever o movimento do pêndulo, consideraremos a bola como um ponto material e desprezaremos a massa do fio e a resistência do ar. Tal modelo é chamado pêndulo matemático.
Como coordenada que descreve a posição da bola, escolhemos o ângulo de desvio do fio da vertical φ
. Para descrever a mudança nesta coordenada, é conveniente usar a equação da dinâmica do movimento rotacional 
Onde J = ml 2− momento de inércia do sistema, ε = ∆ω/∆t− aceleração angular do corpo (segunda derivada do ângulo de rotação), M− momento total das forças externas que atuam no sistema 1 . A bola sofre a ação das forças da gravidade mg e da tensão do fio. Momento de tensão da linha N em relação ao ponto de suspensão é zero, então a equação (1) para uma bola suspensa assume a forma
ou 
Esta equação descreve as oscilações de um pêndulo, mas não é uma equação de oscilações harmônicas, pois o momento das forças é proporcional ao seno do ângulo de deflexão, e não ao ângulo em si. No entanto, se considerarmos os ângulos de deflexão pequenos (quanto isso é - descobriremos mais tarde), podemos usar a fórmula aproximada sinφ ≈ φ nesta aproximação, a equação (3) se transforma na equação familiar de oscilações harmônicas 
Onde Ω = √(g/l)− frequência circular de pequenas oscilações do pêndulo 2 . Já escrevemos a solução desta equação
aqui φ o- o desvio máximo da rosca, ou seja, a amplitude das oscilações. Por simplicidade, vamos supor que a velocidade inicial da bola é zero.
O período de pequenas oscilações do pêndulo é expresso em termos da frequência circular 
Como as pequenas oscilações do pêndulo matemático são harmônicas, seu período não depende da amplitude. Este fato foi observado experimentalmente por G. Galileu. Em grandes ângulos de deflexão, o período de oscilação do pêndulo matemático aumenta ligeiramente.
Observe que o período de oscilação de um pêndulo matemático também não depende da massa da bola - lembre-se, a aceleração de queda livre, assim como outras características do movimento de um corpo no campo gravitacional da Terra, também não dependem na massa do corpo (se, é claro, desprezarmos a resistência do ar).
A fórmula (6) pode ser usada e está sendo usada para determinar experimentalmente a aceleração gravitacional. O comprimento do fio e o período de oscilação podem ser facilmente medidos experimentalmente, então, usando a fórmula (6), a aceleração de queda livre pode ser calculada.
Vamos tentar descrever o movimento de um pêndulo matemático usando a lei da conservação da energia mecânica. A energia cinética da bola é expressa pela fórmula 
O nível zero da referência de energia potencial é compatível com o ponto de suspensão do fio, então a energia potencial da bola é igual a 
Equações da lei de conservação da energia mecânica (levando em conta condições iniciais) tem a forma 
Esta equação também não é uma equação de vibrações harmônicas. Mas, se considerarmos novamente os ângulos de deflexão do pêndulo pequenos e usarmos a fórmula aproximada 
então a equação (7) entrará na equação das oscilações harmônicas 
ou 
onde indicado Ω = √(g/l)- frequência circular de oscilações, coincidente com a obtida pela equação dinâmica (2).
Claro que tal coincidência não é acidental - na verdade, em ambas as abordagens, usamos a mesma aproximação de pequenos ângulos de deflexão.
1 Em princípio, pode-se também usar as equações da dinâmica do movimento translacional, mas a abordagem usada aqui é preferível, pois a trajetória do ponto é um arco de círculo.
2 Escolhemos a designação Ω (isto também é “ômega”, apenas maiúsculo) para a frequência natural de pequenas oscilações, de modo que a designação tradicional ω − fica para trás da velocidade angular da bola, que aparecerá mais adiante em nosso raciocínio .
Conceitos Básicos: oscilações amortecidas, oscilações livres, oscilações não amortecidas, oscilações forçadas, oscilações próprias.
A energia mecânica total do pêndulo E é a soma de seu potencial E p \u003d mgh e cinética E k \u003d mυ 2 / 2 energias:
E \u003d E p + E k \u003d mgh + mυ 2 / 2. (1)
A Figura 1 mostra esquematicamente a transformação da energia potencial de um pêndulo matemático em energia cinética e vice-versa.
Figura 1. A transformação de energia durante o movimento oscilatório de um pêndulo matemático.
Quando o pêndulo está no ponto A (o ponto em que o deslocamento do pêndulo da posição de equilíbrio é máximo), sua energia cinética é igual ao valor mínimo possível - zero - E k min \u003d 0, e a energia potencial é máximo e igual a E p max \u003d mgh max. Assim, a energia mecânica total do pêndulo em t.A de acordo com (1) é igual a:
No ponto A: E \u003d E p max + E k min \u003d mgh max + 0 \u003d mgh max.
Quando o pêndulo está em qualquer ponto intermediário entre os pontos A (o ponto onde o deslocamento do pêndulo da posição de equilíbrio é máximo) e O (a posição de equilíbrio), então sua energia mecânica total E de acordo com (1) é igual a :
Em pontos intermediários: E \u003d E p + E k \u003d mgh + mυ 2 / 2,
E p e E k assumem alguns valores intermediários maiores que 0 e menores que o valor máximo: E p \u003d mgh< mgh max , Е к = mυ 2 /2 < mυ max 2 /2.
Quando o pêndulo passa pelo ponto O (posição de equilíbrio), sua energia cinética é máxima e igual a E k max \u003d mυ max 2 / 2, e a energia potencial, por sua vez, agora assume um valor zero E p \u003d 0:
No ponto O: E \u003d E p min + E k max \u003d 0 + mυ max 2 / 2.
Assim, é possível compor uma cadeia de transformações de um tipo de energia em outro quando o pêndulo matemático se move de um ponto a outro (Fig. 1):
ponto A -- ponto N -- ponto O -- ponto M -- ponto B --…..
E p max -- E p + E k -- E k max -- E' p + E' k -- E p max -- …..
E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2 = E k max = mυ max 2 /2 = E p max = mgh max (2)
Para um pêndulo de mola (Fig. 2), a transformação de energia ocorre de maneira semelhante.
Arroz. 3. Sistema auto-oscilatório.
Vá para a próxima 34ª lição: Propagação de vibrações no ambiente. Ondas.
Acesse as notas do 9º ano.